МатБюро Теория вероятностей Формулы и таблицы Случайные события

Формулы по теории вероятности онлайн

В данном разделе вы найдете формулы по теории вероятностей в онлайн-варианте. Версию в pdf можно скачать на странице Таблицы и формулы по теории вероятностей.

Для вашего удобства к формулам по теории вероятностей мы добавили ссылки на примеры, теорию, калькуляторы, видеоуроки и статьи по подходящим разделам. Используйте эти возможности!

Каталог формул по теории вероятности онлайн

Случайные события. Основные формулы онлайн

Понравилось? Добавьте в закладки

Основные формулы комбинаторики

Число перестановок

$P_n = n! = 1\cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (n-1) \cdot n$

Число размещений

$A_m^n = n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot (n-m+1)$

Число сочетаний

$C_n^m =\frac{A_n^m}{P_m}=\frac{n!}{m! \cdot (n-m)!}$

Число перестановок с повторениями

$P_n (n_1,n_2,...,n_k)=\frac{n!}{n_1! \cdot n_2!\cdot ... \cdot n_k!}.$

Число размещений с повторениями

$\overline{A}_n^k=n\cdot n\cdot ... \cdot n = n^k.$

Число сочетаний с повторениями

$\overline{C}_n^k=C_{k+n-1}^k=\frac{(k+n-1)!}{(n-1)!\cdot k!}$

Как выбрать формулу комбинаторики?, калькуляторы по комбинаторике и примеры решений

Классическое определение вероятности

$P(A) = \frac{m}{n},$ где $m$ - число благоприятствующих событию $A$ исходов, $n$ - число всех элементарных равновозможных исходов в испытании.

Подробнее: онлайн-учебник, решенные примеры и калькулятор.

Вероятность суммы событий

Теорема сложения вероятностей несовместных событий:

$P(A+B) = P(A)+P(B)$

Теорема сложения вероятностей совместных событий:

$P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB)$

Еще по этой теме: примеры решений и теория, калькулятор суммы и произведения событий, разбор задачи про выстрелы, разбор задачи про станки

Нужна помощь с работой по теории вероятностей?

Узнайте больше

Вероятность произведения событий

Теорема умножения вероятностей независимых событий:

$P(A\cdot B) =P(A)\cdot P(B)$

Теорема умножения вероятностей зависимых событий:

$P(A\cdot B) =P(A)\cdot P(B|A),\\ P(A\cdot B) =P(B)\cdot P(A|B).$

$P(A|B)$ - условная вероятность события $A$ при условии, что произошло событие $B$ ,

$P(B|A)$ - условная вероятность события $B$ при условии, что произошло событие $A$ .

Подробнее об условной вероятности.

Формула полной вероятности

$P(A)=\sum_{k=1}^{n} P(H_k)\cdot P(A|H_k),$

где $H_1, H_2, ..., H_n$ - полная группа гипотез.

Формула Байеса. Вычисление апостериорных вероятностей гипотез

$P(H_m|A) =\frac{P(H_m)\cdot P(A|H_m)}{P(A)} = \frac{P(H_m)\cdot P(A|H_m)}{\sum\limits_{k=1}^{n} P(H_k)\cdot P(A|H_k)},$

где $H_1, H_2, ..., H_n$ - полная группа гипотез.

Примеры решений и теория в учебнике, калькуляторы полной вероятности и формулы Байеса.

Формула Бернулли

$P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$ вероятность появления события ровно

$k$ раз в

$n$ независимых испытаниях,

$p$ - вероятность появления события при одном испытании.

Примеры решений, теория в учебнике, онлайн-калькуляторы.

Наивероятнейшее число наступления события

Наивероятнейшее число $k_0$ появления события при $n$ независимых испытаниях (где $p$ - вероятность появления события при одном испытании):

$np-(1-p) \le k_0 \le np+p.$

Как вычислить наивероятнейшее значение онлайн.

Приближенная формула Пуассона

Если число испытаний $n$ велико, и при этом вероятность $p$ наступления события в каждом испытании крайне мала, так что выполняется условие $np \lt 10$ , можно применять формулу Пуассона:

$P_n(k)=\frac{\lambda^k}{k!}\cdot e^{-\lambda}.$

Здесь $\lambda=n \cdot p$ обозначает среднее число появлений события.

Еще: онлайн калькулятор, примеры решений.

Локальная формула Лапласа

$P_n(k) = \frac{1}{\sqrt{npq}} \varphi\left( \frac{k-np}{\sqrt{npq}} \right)$

вероятность появления события ровно $k$ раз при $n$ независимых испытаниях, $p$ - вероятность появления события при одном испытании, $q=1-p$ .
Значения функции $\varphi(x)$ берутся из таблицы.

Интегральная формула Лапласа

$P_n(m_1, m_2) = \Phi\left( \frac{m_2-np}{\sqrt{npq}} \right)-\Phi\left( \frac{m_1-np}{\sqrt{npq}} \right)$

вероятность появления события не менее $m_1$ и не более $m_2$ раз при $n$ независимых испытаниях, $p$ - вероятность появления события при одном испытании, $q=1-p$ .
Значения функции $\Phi(x)$ берутся из таблицы.