Гипергеометрическое распределение в вычислении вероятностей
Несмотря на такой страшный заголовок, в этой статье мы рассмотрим сравнительно простые и распространенные задачи по теории вероятностей (на тему классического определения вероятности), где речь пойдет о выборе без возвращения из некоторой совокупности объектов (шаров, деталей, билетов, учебников и т.д.) нужных нам объектов (красных шаров, небракованных деталей, выигрышных билетов, толстых учебников и т.д.). Приступим!
Выбор без возвращения. Как найти вероятность?
Чаще всего задача формулируется следующим образом:
Из урны, в которой находятся $N$ шаров ($K$ белых и $N-K$ чёрных шаров), наудачу и без возвращения вынимают $n$ шаров ($n \le N$). Найти вероятность того, что будет выбрано $k$ белых и $n-k$ чёрных шаров.
Ясно, что при $k>K$ или $n-k>N-K$ (то есть шаров нужно вынуть больше, чем их всего в урне), вероятность равна нулю (событие невозможное). А при $k \le K$ и $n-k \le N-K$ искомая вероятность вычисляется по формуле: $$ P=\frac{C_K^k \cdot C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n}. \qquad (1) $$
Рассмотрим для примера доказательство формулы при выборе без учета порядка (не важно, в каком порядке появились шары при выборе).
Общее число исходов - это число способов выбрать все комбинации без учета порядка из $n$ шаров из общего множества в $N$ шаров, что есть число сочетаний $C_N^n$ (см. подробнее про сочетания).
Теперь найдем число всех способов выбрать $k$ белых шаров из $K$ возможных - это сочетания $C_K^k$, и число всех способов выбрать $n-k$ чёрных шаров из $N-K$ возможных - $C_{N-K}^{n-k}$. По правилу произведения перемножив эти числа получим число исходов, благоприятствующих событию - $C_K^k \cdot C_{N-K}^{n-k}$.
Поэтому по классическому определению вероятности, поделив число благоприятствующих исходов на общее число исходов, придем к искомой формуле (1).
Если вас интересует вывод формулы при выборе с учетом порядка (он абсолютно аналогичный), можно его найти здесь (в конце страницы).
Типы задач на гипергеометрическое распределение
Ниже вы найдете несколько типовых задач, каждая из которых может быть решена по формуле (1). Переходя по ссылке, вы найдете общую постановку задачи, несколько решенных примеров, а также калькулятор для решения своей задачи:
Другие полезные статьи по теории вероятностей:
