Пошаговое вычисление производной сложной функции

Производная — один из ключевых инструментов математического анализа, который помогает понять, как функция изменяется. Но что делать, если перед вами не простая функция вроде $y = x^2$, а сложная, с вложениями, произведениями или дробями? В этой статье мы разберем общий алгоритм вычисления производной сложной функции и закрепим его примерами — от базовых до более запутанных.

Общий алгоритм нахождения производной

Чтобы найти производную сложной функции, нужно двигаться по шагам:

1. Определить структуру функции: Разобрать из каких частей она состоит. Это может быть сумма, произведение, частное или композиция (функция от функции).
2. Выбрать подходящее правило дифференцирования для каждого случая:
   • Для суммы или разности: $(u + v)' = u' + v'$.
   • Для произведения: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$.
   • Для частного: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$.
   • Для сложной функции (композиции): использовать правило дифференцирования "по цепи" (для простоты будем говорить, что дифференцируем по цепочке - начинаем от внешней функции и дальше двигаемся внутрь, пока не дойдем до x) — $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
3. Найти производные простых частей: Использовать таблицу производных для элементарных функций (например, $(x^n)' = n x^{n-1}$, $(\sin x)' = \cos x$).
4. Последовательно перейти к результату: Подставить найденные производные в формулу и упростить выражение.

Теперь применим этот алгоритм на практике, разобрав несколько примеров на нахождение производной.

Пример 1: Простая композиция

Рассмотрим функцию $y = \sin(x^2)$.

1. Структура: Это сложная функция — $\sin$ от $x^2$. Внешняя функция — $\sin u$, внутренняя — $u = x^2$.
2. Правило: Используем правило цепочки: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
3. Производные:
   • Сначала найдем производную от синуса $(\sin u)' = \cos u$, где $u = x^2$, значит $f'(g(x)) = \cos(x^2)$.
   • А теперь от внутренней части: $(x^2)' = 2x$.
4. Ответ: $y' = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cos(x^2)$.

Пример 2: Произведение с композицией

Возьмем функцию $y = x^3 \cdot e^{2x}$.

1. Структура: Прежде всего, это произведение двух функций: $u = x^3$ и $v = e^{2x}$, причем одна из них - $e^{2x}$ — сложная функция.
2. Правило: Сначала применяем правило произведения: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$.
3. Производные:
   • $u = x^3$, $u' = 3x^2$.
   • $v = e^{2x}$. Это композиция: внешняя — $e^u$, внутренняя — $u = 2x$. По правилу цепочки: $(e^{2x})' = e^{2x} \cdot (2x)' = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}$.
4. Получаем: $$y' = u' \cdot v + u \cdot v' = 3x^2 \cdot e^{2x} + x^3 \cdot 2e^{2x}.$$ Упростим, вынося $e^{2x}$: $$y' = e^{2x} (3x^2 + 2x^3) = x^2 e^{2x} (3 + 2x).$$

Пример 3: Частное с композицией

Рассмотрим $y = \frac{\ln(x^2 + 1)}{x}$.

1. Структура: Функция представляет собой дробь: числитель $u = \ln(x^2 + 1)$ (сложная функция), знаменатель $v = x$.
2. Правило: Сначало используем правило для частного: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$.
3. Производные:
   • $u = \ln(x^2 + 1)$. По правилу цепочки: $(\ln w)' = \frac{1}{w} \cdot w'$, где $w = x^2 + 1$, $w' = 2x$. Итог: $u' = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}$.
   • $v = x$, $v' = 1$.
4. Результат: $$y' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2} = \frac{\frac{2x}{x^2 + 1} \cdot x - \ln(x^2 + 1) \cdot 1}{x^2}.$$ Упростим числитель: $$\frac{2x^2}{x^2 + 1} - \ln(x^2 + 1).$$ Итог: $$y' = \frac{\frac{2x^2}{x^2 + 1} - \ln(x^2 + 1)}{x^2} = \frac{2x^2 - (x^2 + 1) \ln(x^2 + 1)}{x^2 (x^2 + 1)}.$$

Пример 4: Сложная композиция вложенных функций

Пусть $y = e^{\sin(x^2)}$.

1. Структура: В этот раз получилась трехслойная композиция функций: внешняя — $e^u$, средняя — $u = \sin v$, внутренняя — $v = x^2$.
2. Правило: Применяем правило цепочки несколько раз.
3. Производные:
   • $(e^u)' = e^u$, где $u = \sin(x^2)$, значит $e^{\sin(x^2)}$.
   • $(\sin v)' = \cos v$, где $v = x^2$, значит $\cos(x^2)$.
   • $(x^2)' = 2x$.
4. Приходим к ответу:: $$y' = e^{\sin(x^2)} \cdot \cos(x^2) \cdot 2x = 2x e^{\sin(x^2)} \cos(x^2).$$

И еще

Вычисление производной сложной функции — это комбинация базовых правил и внимательности. Начинайте с простых примеров, чтобы освоить технику, а затем переходите к более сложным. Если задачи кажутся непосильными, не переживайте — мы можем помочь! Закажите решение у нас и сэкономьте время.

Дополнительная информация

• Таблица производных и правила дифференцирования
• Другие примеры решений производных
• Контрольные по математике на заказ
• Почему стоит заказать в МатБюро?