Примеры решений задач на производную и ее приложения

Задача 1. Найти производную от следующей функции $$ y=\left[\sqrt[3]{\frac{1}{7+x^2}}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} \right]\cdot 24; \quad y'(1). $$

Задача 2. Найти $y_{xx}^{''}$, если $$ \left\{ \begin{array}{l} x=t^4-t^2+1,\\ y=t^4+t^2+1. \end{array} \right. $$ Вычислить $y_{xx}^{''}$, если $t=-1$.

Задача 3. Функция $z=z(x,y)$ задана неявно уравнением $$2x^2+2y^2+z^2-8xz-z+8=0$$ Вычислить $$\frac{\partial z}{\partial x}(2,0,1), \frac{\partial z}{\partial y}(2,0,1)$$

Задача 4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданных отрезках $$y=\frac{2(x^2+3)}{(x^2+2x+5)}, [-5;1]$$

Задача 5. Дан цилиндр с неизменяющейся площадью поверхности $А$. Найти отношение высоты $h$ к радиусу $r$, при котором объем будет максимальный.

Задача 6. Функция $y=y(x)$ задана неявно уравнением $x^2+4xy+y^2+x+2y-28=0$. Составить уравнение касательной и нормали к графику этой функции в точке $M(3; 1)$.

Задача 7. Определить экстремумы функции $$y=\frac{(x-2)(8-x)}{x^2}$$

Задача 8. Найти асимптоты графика функции $$y=\frac{x^2}{x+1}$$